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Algèbre 1 - MIAS 1
Nous allons dans ce court chapitre, examiner quelques objets mathématiques liés à la structure d’ensemble.
Le propos ne sera pas d’exposer une théorie 1 (axiomatique?) des ensembles. Les prétentions théoriques seront
plus que restreintes. Seule une idée intuitive de la notion d’ensemble sera utilisée. Si vous parvenez à donner son
sens à une phrase comme : « Je suis un élément de l’ensemble des étudiants du DEUG MIAS », vous disposez d’un
bagage suffisant pour entamer la lecture de ce chapitre. Certains ensembles auront un nombre fini d’éléments et
seront appelés : ensembles finis. On rappelle que « l’élément a appartient à l’ensemble A » s’écrit : a ∈ A, et que
« l’élément a n’appartient pas à l’ensemble A » s’écrit : a ∈ A.
Définition et notation 1.1.1 (Sous-ensemble) On dit que B est un sous-ensemble de A, si tous les éléments
de B sont des éléments de A. On écrit alors: B⊂A. (Lire : B est inclus dans A).
On rencontre également, à la place de B⊂A, la notation A⊃B qui a la même signification. On remarque que
a ∈ A équivaut à {a}⊂A. Les accolades sont utilisées pour noter les ensembles dont on exhibe les éléments.
Par exemple {a, b} est l’ensemble 2 dont les deux éléments sont a et b. Dans {a, a} il n’y a pas deux éléments
mais un seul 3, et on écrit {a} au lieu de {a, a}.
Définition et notation 1.1.2 Soient A et B des ensembles. A B est l’ensemble des éléments de A qui n’ap-
partiennent pas à B.
Définition 1.1.3 (Complémentaire) Soit A un ensemble et B un sous-ensemble de A. A
B est le complé-
mentaire de B dans A.
Définition et notation 1.1.4 (Ensemble vide) L’unique ensemble n’ayant aucun élément: l’ensemble vide,
est noté : ∅.
On remarque que l’ensemble vide est un sous-ensemble de n’importe quel ensemble. En effet, soit A un ensemble ;
∅⊂A si et seulement si tout élément de ∅ est un élément de A. Or, comme ∅ n’a pas d’élément, on a vite fait
de vérifier que tout élément de ∅ est un élément de A
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